Question

15．如圖（1）所示，邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，沿DE，DF將△ADE，△DCF折起，使得A，C兩點(diǎn)重合于一點(diǎn)P．得到一個(gè)四棱錐P-EBFD（如圖（2）所示），連按EF，BD．
（I）證明：EF⊥平面PBD；
（Ⅱ）已知$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PD}$（0≤λ≤1），當(dāng)平面MEF與平面DEF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，交EF于O，連結(jié)OP，推導(dǎo)出EF⊥BD，PO⊥EF，由此能證明EF⊥平面PBD．
（Ⅱ）連結(jié)OM，求出cos$∠MOD=\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin∠MOD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos∠PDO=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，sin∠PDO=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，從而sin∠OMD=sin（∠MOD+∠MDO）=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}$，由正弦定理得$\frac{MD}{sin∠MOD}=\frac{OD}{sin∠OMD}$，從而求出MD=$\frac{9\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{7}a$，PM=$\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{7}a$，由此能求出λ．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，交EF于O，連結(jié)OP，
∵邊長(zhǎng)為2a的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF⊥BD，
又沿DE，DF將△ADE，△DCF折起，使得A，C兩點(diǎn)重合于一點(diǎn)P，∴EP=FP，
∵OE=OF，∴PO⊥EF，
∵PO∩BD=O，∴EF⊥平面PBD．
解：（Ⅱ）連結(jié)OM，∵OM?平面PBD，EF⊥平面PBD，∴EF⊥OM，
∴∠MOD是平面MEF與平面DEF所成角，
∵平面MEF與平面DEF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos$∠MOD=\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin$∠MOD=\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
OD=$\frac{3}{4}BD=\frac{3}{4}\sqrt{4{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}a$，
EF=$\sqrt{2}a$，PE=PF=a，∴PO=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{2a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，$PD=\sqrt{\frac{2}{4}{a}^{2}+\frac{18}{4}{a}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，sin∠PDO=$\sqrt{1-\frac{9}{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴sin∠OMD=sin（∠MOD+∠MDO）
=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}$，
∵$\frac{MD}{sin∠MOD}=\frac{OD}{sin∠OMD}$，
∴MD=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}}$=$\frac{9\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{7}a$，
PM=$\sqrt{5}a$-$\frac{9\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{7}$a=$\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{7}a$，
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PD}$（0≤λ≤1），
∴λ=$\frac{\overrightarrow{PM}}{\overrightarrow{PD}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{7}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{3\sqrt{2}-2}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂直的證明，考查兩線段的比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．