Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d≠0．且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁，利用等差數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．列出方程，求出首項(xiàng)與公差，即可求解通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)${b_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解T_n即可．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁…（1分）
因?yàn)榈炔顢?shù)列{a_n}的前n和為S_n，a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d+5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=42\\{（{a_1}+3d）^2}={a_1}（{a_1}+12d）\end{array}\right.$…（3分）
又公差d≠0
所以a₁=3，d=2…（5分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1…（6分）
（Ⅱ）解：
因?yàn)?{b_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$，所以${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（8分）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（9分）
則T_n=b₁+b₂+b₃+…b_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$…（10分）
=$\frac{n}{2n+1}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．