Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=0，對(duì)任意k∈N*，有a_2k-1，a_2k，a_2k+1成公差為k的等差數(shù)列，若b_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{a}_{2n+1}}$，則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和S₁₀=（　�。�

• A． $\frac{450}{11}$
• B． $\frac{439}{11}$
• C． $\frac{452}{11}$
• D． $\frac{441}{11}$

Answer 1

分析 依題意，討論k=1，2，3，4，可求得a₂，a₃，…，a₉，…，從而利用累加法可求得a_2n+1=n²+n，代入b_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{a}_{2n+1}}$，用分組求和與裂項(xiàng)法求和即可求得答案．

解答 解：當(dāng)k=1時(shí)，a₁，a₂，a₃成公差為1的等差數(shù)列，
由于a₁=0，故a₂=1，a₃=2；
同理可得當(dāng)k=2，3，4時(shí)，可以求得a₄=4，a₅=6，a₆=9，a₇=12，a₈=16，a₉=20；
∴a₃-a₁=2，a₅-a₃=4，a₇-a₅=6，…
∴a_2n+1-a_2n-1=2n，
∴將上述n個(gè)等式相加得：a_2n+1-a₁=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n，
∴a_2n+1=n²+n，
∴b_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{a}_{2n+1}}$=$\frac{（2n+1）^{2}}{{n}^{2}+n}$=$\frac{4（{n}^{2}+n）+1}{{n}^{2}+n}$=4+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=4+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=4n+[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=4n+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=4n+$\frac{n}{n+1}$．
則S₁₀=40+$\frac{10}{11}$=$\frac{450}{11}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得a_2n+1=n²+n是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查裂項(xiàng)法求和與分組求和，屬于難題．