Question

10．已知拋物線C：y=x²，點P（0，2），A、B是拋物線上兩個動點，點P到直線AB的距離為1．
（1）若直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$，求直線AB的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$設(shè)出直線AB的方程，
根據(jù)點P到直線AB的距離求出m的值，從而寫出直線方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，
利用根與系數(shù)的關(guān)系和點P到直線AB的距離，
得出k、m的關(guān)系，再求|AB|²的最小值即可．

解答 解：（1）由直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$，tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$x+m，
則點P（0，2）到直線AB的距離為
d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{1{+（\sqrt{3}）}^{2}}}$=1，
解得m=0或m=4；
∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$x或y=$\sqrt{3}$x+4；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
則點P到直線AB的距離為d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，
即k²+1=（m-2）²；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y{=x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得x²-kx-m=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=k，x₁x₂=-m；
∴|AB|²=（1+k²）[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂]=（1+k²）（k²+4m）=（m-2）²（m²+3），
設(shè)f（m）=（m-2）²（m²+3），
則f′（m）=2（m-2）（2m²-2m+3），
又k²+1=（m-2）²≥1，
∴m≤1或m≥3，
∴當(dāng)m∈（-∞，1]時，f′（m）＜0，f（m）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)m∈[3，+∞）時，f′（m）＞0，f（m）是單調(diào)增函數(shù)；
∴f（m）_min=f（1）=4，
∴|AB|的最小值為2．

點評 本題考查了直線與拋物線方程的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是中檔題．