12.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{ln({2x})}}{x}$,關(guān)于x的不等式f2(x)+af(x)>0只有兩個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-ln2,-$\frac{ln6}{3}$].

分析 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性和取值情況,利用一元二次不等式的解法,結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

解答 解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),則f′(x)=$\frac{1-ln(2x)}{{x}^{2}}$.
當(dāng)f′(x)>0得1-ln(2x)>0,即ln(2x)<1,即0<2x<e,即0<x<$\frac{e}{2}$,
由f′(x)<0得1-ln(2x)<0,得ln(2x)>1,即2x>e,即x>$\frac{e}{2}$,
即當(dāng)x=$\frac{e}{2}$時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,同時(shí)也是最大值f($\frac{e}{2}$)=$\frac{2}{e}$,
即當(dāng)0<x<$\frac{e}{2}$時(shí),f(x)<$\frac{2}{e}$有一個(gè)整數(shù)解1,
當(dāng)x>$\frac{e}{2}$時(shí),0<f(x)<$\frac{2}{e}$有無數(shù)個(gè)整數(shù)解,
①若a=0,則f2(x)+af(x)>0得f2(x)>0,此時(shí)有無數(shù)個(gè)整數(shù)解,不滿足條件.
②若a>0,則由f2(x)+af(x)>0得f(x)>0或f(x)<-a,當(dāng)f(x)>0時(shí),
不等式由無數(shù)個(gè)整數(shù)解,不滿足條件.
③當(dāng)a<0時(shí),由f2(x)+af(x)>0得f(x)>-a或f(x)<0,當(dāng)f(x)<0時(shí),沒有整數(shù)解,
∵f(1)=ln2,f(2)=ln2,f(3)=$\frac{ln6}{3}$,
∴當(dāng)f(x)≥ln2時(shí),函數(shù)有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,當(dāng)f(x)≥$\frac{ln6}{3}$時(shí),函數(shù)有3個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,3
∴要使f(x)>-a有兩個(gè)整數(shù)解,必有$\frac{ln6}{3}$≤-a<ln2,即-ln2<a≤-$\frac{1}{3}$ln6,
故答案為(-ln2,-$\frac{ln6}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解,根據(jù)條件判斷函數(shù)的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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甲校:58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81;
乙校:90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
檢查組將成績(jī)分成了四個(gè)等級(jí):成績(jī)?cè)趨^(qū)間[85,100]的為A等,在區(qū)間[70,85)的為B等,在區(qū)間[60,70)的為C等,在區(qū)間[0,60)為D等.
(1)請(qǐng)用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù),并通過觀察莖葉圖,對(duì)兩所學(xué)校辦學(xué)的社會(huì)滿意度進(jìn)行比較,寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論;
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