Question

14．現(xiàn)階段全國多地空氣質(zhì)量指數(shù)“爆表”．為探究車流量與PM2.5濃度是否相關(guān)，現(xiàn)對北方某中心城市的車流量最大的地區(qū)進(jìn)行檢測，現(xiàn)采集到12月某天7個(gè)不同時(shí)段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)，如下表：

車流量x（萬輛/小時(shí)）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5濃度y（微克/立方米）	30	36	38	40	42	44	50

（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）規(guī)定當(dāng)PM2.5濃度平均值在（0，50]，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)PM2.5濃度平均值在（50，100]，空氣質(zhì)量等級為良；為使該城市空氣質(zhì)量為優(yōu)和良，利用該回歸方程，預(yù)測要將車流量控制在每小時(shí)多少萬輛內(nèi)（結(jié)果以萬輛做單位，保留整數(shù)）．
附：回歸直線方程：$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y=\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出回歸系數(shù)，即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）利用$\frac{20}{7}x+\frac{200}{7}$≤100，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\overline x=4，\overline y=40$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}=1200，\sum_{i=1}^7{{x_i}^2=140}}$，
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=$\frac{20}{7}$，$\widehata=\overline y=\widehatb\overline x$=$\frac{200}{7}$，
故y關(guān)于x的線性回歸方程是：y=$\frac{20}{7}x+\frac{200}{7}$；
（2）$\frac{20}{7}x+\frac{200}{7}$≤100即x≤25，即預(yù)測要將車流量控制在每小時(shí)25萬輛內(nèi)..

點(diǎn)評 本題考查回歸方程，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，正確計(jì)算是關(guān)鍵．