Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（cosα，sinα），設(shè)$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$（t∈R）．
（1）若α=$\frac{π}{4}$，求|$\overrightarrow{m}$|最小值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{m}$夾角的余弦值為$\frac{2}{3}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與模長(zhǎng)公式，利用二次函數(shù)求|$\overrightarrow{m}$|的最小值；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=0，根據(jù)$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{m}$的數(shù)量積公式，列出方程組求出t的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$=（1+tcosα，2+tsinα）（t∈R）；
當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，$\overrightarrow{m}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t），
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}t）}^{2}{+（2+\frac{\sqrt{2}}{2}t）}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{{（t+\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}$，
∴當(dāng)t=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，|$\overrightarrow{m}$|取得最小值為$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=cosα+2sinα=0①；
又$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（1-cosα，2-sinα），
且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{m}$夾角的余弦值為$\frac{2}{3}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{m}$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|×|$\overrightarrow{m}$|×cosθ，
即（1+tcosα）（1-cosα）+（2+tsinα）（2-sinα）=$\sqrt{{（1-cosα）}^{2}{+（2-sinα）}^{2}}$×$\sqrt{{（1+tcosα）}^{2}{+（2+tsinα）}^{2}}$×$\frac{2}{3}$②；
由①②化簡(jiǎn)得5-t²=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6（5{+t}^{2}）}$，
整理得3t⁴-38t²+35=0，
解得t²=35或t²=$\frac{1}{3}$，
即t=±$\sqrt{35}$或t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的計(jì)算問(wèn)題，也考查了推理與計(jì)算能力，是中檔題．