Question

20．已知$a=\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}{2cos（x-\frac{π}{4}）}dx$，則${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^8}$展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)為448．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分求出a的值，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求得結(jié)果．

解答 解：$a=\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}{2cos（x-\frac{π}{4}）}dx$=2sin（x-$\frac{π}{4}$）${|}_{-\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}}$=2[sin（$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）]=4，
∴${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^8}$展通項(xiàng)為C₈^r（-4）^r${x}^{8-\frac{3r}{2}}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=5，解得r=2，
∴展開(kāi)式中x⁵的系數(shù)為C₈²（-4）²=448．
故答案為：448

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．