Question

17．某中學一名數(shù)學老師對全班50名學生某次考試成績分男女生進行了統(tǒng)計（滿分150分），其中120分（含120分）以上為優(yōu)秀，繪制了如下的兩個頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)以上兩個直方圖完成下面的2×2列聯(lián)表：

成績性別	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計
男生
女生
總計

（2）根據(jù)（1）中表格的數(shù)據(jù)計算，你有多大把握認為學生的數(shù)學成績與性別之間有關系？
附：${{K}^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d為樣本容量

k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

（3）若從成績在[130，140]的學生中任取2人，設取到的2人中女生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由已知可得列聯(lián)表．
（2）由K²計算公式即可得出．
（3）成績在[130，140]的學生中男生有0.008×10×50=4人，女生有0.004×10×50=2人．從6名學生中任取2人，共有$C_6^2=15$種選法，ξ的所有可能取值為0，1，2，利用超幾何分布列計算公式即可得出．

解答 解：（1）

成績性別	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計
男生	13	10	23
女生	7	20	27
總計	20	30	50

…3分
（2）假設學生的數(shù)學成績與性別之間沒有關系…4分
${{K}^2}=\frac{{50×{{（{13×20-7×10}）}^2}}}{20×30×27×23}≈4.844＞3.841$…7分
∴有95%的把握認為學生的數(shù)學成績與性別之間有關系；…8分
（3）成績在[130，140]的學生中男生有0.008×10×50=4人，女生有0.004×10×50=2人．
從6名學生中任取2人，共有$C_6^2=15$種選法，ξ的所有可能取值為0，1，2…．…9分$P（ξ=0）=\frac{C_4^2C_2^0}{C_6^2}=\frac{6}{15}{\;}_{\;}{\;}_{\;}P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}$$P（ξ=2）=\frac{C_4^0C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

所求的期望為$E（ξ）=0×\frac{6}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}=\frac{2}{3}$…12分．

點評 本題考查了獨立性檢驗原理、超幾何分布列計算公式及其數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．