Question

12．函數(shù)$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$的值域為（　�。�

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$
• B． $（{-∞，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 令2^x=t（t＞0），則$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$，然后利用導數(shù)求得函數(shù)的值域．

解答 解：令2^x=t（t＞0），
則$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$，
∴y′=$\frac{1+{t}^{2}-2t（1+t）}{（1+{t}^{2}）^{2}}=\frac{1-2t-{t}^{2}}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
由y′=0，得t=-1$-\sqrt{2}$（舍）或t=-1+$\sqrt{2}$．
∴當t∈（0，-1+$\sqrt{2}$）時，y′＞0，當t∈（-1+$\sqrt{2}$，+∞）時，y′＜0，
∴y=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$在（0，-1+$\sqrt{2}$）上為增函數(shù)，在（-1+$\sqrt{2}$，+∞）上為減函數(shù)．
∴當t=-1+$\sqrt{2}$時，y有最大值為$\frac{1-1+\sqrt{2}}{1+（-1+\sqrt{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
又當t→0⁺時，y→1，當t→+∞時，y→0．
∴$y=\frac{{1+{2^x}}}{{1+{4^x}}}$=$\frac{1+t}{1+{t}^{2}}$的值域為（0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]．
故選：A．

點評 本題考查利用換元法及導數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．