Question

17．某公司于2015年底建成了一條生產(chǎn)線(xiàn)，自2016年1月份產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來(lái)，該公司的營(yíng)銷(xiāo)狀況所反映出的每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與月份x之間的函數(shù)關(guān)系為：y=$\left\{\begin{array}{l}{26x-56（1≤x≤5，x∈N*）}\\{210-20x（5＜x≤12，x∈N*）}\end{array}\right.$
（Ⅰ）2016年第幾個(gè)月該公司的月利潤(rùn)最大？最大值是多少萬(wàn)元？
（Ⅱ）若公司前x個(gè)月的月平均利潤(rùn)（w=$\frac{前x個(gè)月的利潤(rùn)總和}{x}$）達(dá)到最大時(shí)，公司下個(gè)月就應(yīng)采取改變營(yíng)銷(xiāo)模式，拓寬銷(xiāo)售渠道等措施，以保持盈利水平，求w（萬(wàn)元）與x（月）之間的函數(shù)關(guān)系，并指出這家公司在2016年的第幾個(gè)月就應(yīng)采取措施．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用w=$\frac{前x個(gè)月的利潤(rùn)總和}{x}$，求出函數(shù)解析式，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閥=26x-56（1≤x≤5，x∈N^*）單增，當(dāng)x=5時(shí)，y=74（萬(wàn)元）；
y=210-20x（5＜x≤12，x∈N^*）單減，當(dāng)x=6時(shí)，y=90（萬(wàn)元）．
所以y在6月份取最大值，且y_max=90萬(wàn)元．
（Ⅱ）當(dāng)1≤x≤5，x∈N^*時(shí)，w=$\frac{-30x+\frac{x（x-1）}{2}×26}{x}$=13x-43，
當(dāng)5＜x≤12，x∈N^*時(shí)，w=$\frac{110+90（x-5）+\frac{（x-5）（x-6）}{2}×（-20）}{x}$=-10x+200-$\frac{640}{x}$．
∴w=$\left\{\begin{array}{l}{13x-43，（1≤x≤5，x∈{N}^{+}）}\\{-10x-\frac{640}{x}+200，（5＜x≤12，x∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$
當(dāng)1≤x≤5時(shí)，w≤22；
當(dāng)5＜x≤12時(shí)，w=200-10（x+$\frac{64}{x}$）≤40，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)取等號(hào)．
從而x=8時(shí)，w達(dá)到最大．故公司在第9月份就應(yīng)采取措施．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)，函數(shù)求值，函數(shù)的最值，難度不大，屬于中檔題，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．