Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=a_n+2n+1，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-1，對任意正整數(shù)n不等式$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜m$均成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可知：a_n+1-a_n=2n+1，采用累加法即可求得數(shù)列a_n=n²，則b_n=a_n-1=n²-1=（n+1）（n-1），當(dāng)n≥2時(shí)，則$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂項(xiàng)法”即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由a_n+1=a_n+2n+1，則a_n+1-a_n=2n+1，
則a₂-a₁=3，
a₃-a₂=5，
a₄-a₃=7，
…
a_n-a_n-1=2n-1，
以上各式相加：a_n-a₁=3+5+7+…+2n-1=$\frac{（3+2n-1）（n-1）}{2}$=n²-1，
a_n=n²-1+a₁=n²，
當(dāng)n=1時(shí)成立，
∴a_n=n²，
b_n=a_n-1=n²-1=（n+1）（n-1），
當(dāng)n≥2時(shí)，則$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{3}{4}$，
由$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜m$，則$m≥\frac{3}{4}$，
實(shí)數(shù)m的取值范圍[$\frac{3}{4}$，+∞），
故答案為：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式，“錯位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．