Question

11．點P是曲線C₁：（x-2）²+y²=4上的動點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點O為中心，將點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點Q，設點Q的軌跡方程為曲線C₂．
（1）求曲線C₁，C₂的極坐標方程；
（2）射線θ=$\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$與曲線C₁，C₂分別交于A，B兩點，定點M（2，0），求△MAB的面積．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：（x-2）²+y²=4上，把互化公式代入可得：曲線C₁的極坐標方程．設Q（ρ，θ），則$P（{ρ，θ-\frac{π}{2}}）$，代入即可得出曲線C₂的極坐標方程．
（2）M到射線$θ=\frac{π}{3}$的距離為$d=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，$|{AB}|={ρ_B}-{ρ_A}=4（{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}）=2（{\sqrt{3}-1}）$，即可得出面積．

解答 解：（1）曲線C₁：（x-2）²+y²=4上，把互化公式代入可得：曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ．
設Q（ρ，θ），則$P（{ρ，θ-\frac{π}{2}}）$，則有$ρ=4cos（{θ-\frac{π}{2}}）=4sinθ$．
所以，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（2）M到射線$θ=\frac{π}{3}$的距離為$d=2sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，$|{AB}|={ρ_B}-{ρ_A}=4（{sin\frac{π}{3}-cos\frac{π}{3}}）=2（{\sqrt{3}-1}）$，
則$S=\frac{1}{2}|{AB}|×d=3-\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程及其應用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．