Question

14．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為圓F₁、F₂，M是C上一點(diǎn)，|MF₁|=2，且$|{\overrightarrow{M{F_1}}}||{\overrightarrow{M{F_2}}}|=-2\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{{F_2}M}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)過點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，線段AB上取點(diǎn)Q，且Q滿足$|{\overrightarrow{AP}}||{\overrightarrow{QB}}|=|{\overrightarrow{AQ}}||{\overrightarrow{PB}}|$，證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線．

Answer 1

分析 （1）由已知得a=2c，且$∠{F_1}M{F_2}={60^0}$，由余弦定理求出c=1．由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+（1-4k），代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+（8k-32k²）x+64k²-32k-8=0，由此利用韋達(dá)定理、向量，結(jié)合已知條件能證明點(diǎn)Q總在某定直線上，并求出該定直線．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，
左、右焦點(diǎn)分別為圓F₁、F₂，M是C上一點(diǎn)，|MF₁|=2，且$|{\overrightarrow{M{F_1}}}||{\overrightarrow{M{F_2}}}|=-2\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{{F_2}M}$．
∴由已知得a=2c，且$∠{F_1}M{F_2}={60^0}$，
在△F₁F₂M中，由余弦定理得：
（2c）²=2²+（4c-2）²-2×2（4c-2）cos60°，
解得c=1．則$a=2，b=\sqrt{3}$，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
證明：（2）由題意可得直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-4），即y=kx+（1-4k），
代入橢圓方程，整理得（3+4k²）x²+（8k-32k²）x+64k²-32k-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{32{k^2}-8k}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{64{k^2}-32k-8}}{{3+4{k^2}}}$．
設(shè)Q（x₀，y₀），由$|{\overrightarrow{AP}}||{\overrightarrow{QB}}|=|{\overrightarrow{AQ}}||{\overrightarrow{PB}}|$，得：
（4-x₁）（x₀-x₂）=（x₁-x₀）（4-x₂）（考慮線段在x軸上的射影即可），
∴8x₀=（4+x₀）（x₁+x₂）-2x₁x₂，
于是$8{x_0}=（{4+{x_0}}）\frac{{32{k^2}-8k}}{{3+4{k^2}}}-2×\frac{{64{k^2}-32k-8}}{{3+4{k^2}}}$，
整理得3x₀-2=（4-x₀）k，（*）
又$k=\frac{{{y_0}-1}}{{{x_0}-4}}$，代入（*）式得3x₀+y₀-3=0，
∴點(diǎn)Q總在直線3x+y-3=0上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)總在定直線上的證明，考查直線方程的求法，考查橢圓、直線方程、向量、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．