Question

5．“五一”假期期間，某餐廳對選擇A、B、C三種套餐的顧客進行優(yōu)惠．對選擇A、B套餐的顧客都優(yōu)惠10元，對選擇C套餐的顧客優(yōu)惠20元．根據(jù)以往“五一”假期期間100名顧客對選擇A、B、C三種套餐的情況得到下表：

選擇套餐種類	A	B	C
選擇每種套餐的人數(shù)	50	25	25

將頻率視為概率．
（I）若有甲、乙、丙三位顧客選擇某種套餐，求三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率；
（II）若用隨機變量X表示兩位顧客所得優(yōu)惠金額的綜合，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖表結(jié)合頻率視為概率求出顧客選擇A、B、C三種套餐的概率，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出三位顧客選擇的套餐都同的概率，再由對立事件的概率求得三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率；
（Ⅱ）由題意知兩位顧客獲得優(yōu)惠金額X的可能取值為20，30，40．求出三種情況的概率，可得分布列再由期望公式求得X的期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，顧客選擇A、B、C三種套餐的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，
甲、乙、丙三位顧客選擇的套餐都同的概率為$P={（{\frac{1}{2}}）^3}+2{（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{5}{32}$，
∴三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率為$1-P=\frac{27}{32}$；
（Ⅱ）由題意知兩位顧客獲得優(yōu)惠金額X的可能取值為20，30，40．
$P（X=20）=（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}+{C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{4}=\frac{9}{16}$，
$P（X=30）={C}_{2}^{1}•\frac{1}{4}•（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}）=\frac{3}{8}$，
$P（{X=40}）={（{\frac{1}{4}}）^2}=\frac{1}{16}$，
綜上可得X的分布列為：

X	20	30	40
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

X的數(shù)學(xué)期望$EX=20×\frac{9}{16}+30×\frac{3}{8}+40=25$．

點評 本題考查離散型隨機變量及其分布，考查相互獨立事件概率的求法，是中檔題．