Question

【題目】如圖，已知四棱錐，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，底面為菱形，側(cè)面與底面所成的二面角為.

（1）求點(diǎn)到平面的距離；

（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）3.（2）

【解析】

試題分析：（1）取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，所以,從而為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，即，再作 ，垂足為點(diǎn)，因此（2）根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，使軸與平行，所在直線(xiàn)分別為軸，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，最后根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，再由二面角與法向量夾角關(guān)系確定結(jié)論

試題解析：（1）解：如圖，作平面，垂足為點(diǎn)，

連接與交于點(diǎn)，連接.

∵，∴.

∵，∴.

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.

由此知，為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，

∴，.

由已知可求得：，

∴，

即點(diǎn)到平面的距離為3.

（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，使軸與平行，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，，，

∴，，.

設(shè)平面的法向量為，則，令，則

，∴.

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則，∴，

.

記二面角為，，

即二面角的正弦值為.