Question

4．已知{a_n}是等比數列，數列滿足a₁=3，a₄=24，數列{b_n}滿足b₁=1，b₄=-8，且{a_n+b_n} 是等差數列．
（I ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數列、等比數列的通項公式先求得公差和公比，即可求數列的通項公式；
（Ⅱ）利用分組求和的方法求解數列的和，由等差數列及等比數列的前n項和公式即可求解數列的和

解答 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意得a₄=a₁q³，
∴q³=8，
解得q=2，
∴a_n=3×2^n-1，
設等差數列{a_n+b_n} 的公差為d，由題意得：a₄+b₄=（a₁+b₁ ）+3d，
∴24-8=（1+3）+3d，
解得d=4，
∴a_n+b_n=4+4（n-1）=4n，
∴b_n=4n-3×2^n-1，
（Ⅱ）數列{a_n}的前n項和為$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=-3+3×2ⁿ，
數列{a_n+b_n}的前n項和為$\frac{n（4n+4）}{2}$=n（2n+2）=2n²+2n，
故{b_n}的前n項和為2n²+2n+3-3×2ⁿ

點評 本題考查了等差數列、等比數列的通項公式，考查了利用分組求和的方法求解數列的前n項和，是中檔題．