Question

9．近年來，食品安全越來越被廣大民眾所關(guān)注，有機(jī)蔬菜因其無污染、富營養(yǎng)和高質(zhì)量等品質(zhì)而受到大眾喜愛．為了解某地區(qū)某種有機(jī)蔬菜的年產(chǎn)量x（單位：噸）對價格y（單位：千元/噸）和年利潤z的影響，對近五年該有機(jī)蔬菜的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如表：

x	3	1	2	4	5
y	5.5	6.5	6	3.7	2.3

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（2）假設(shè)該有機(jī)蔬菜的成本為每噸2千元，并且可以全部賣出，預(yù)測年產(chǎn)量為多少噸時，年利潤z取到最大值？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出x，y的平均數(shù)，再求出$\widehat$，$\widehat{a}$的值，求出回歸方程即可；
（2）表示出年利潤z，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出z的最大值即可．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+1+2+4+5+5）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5.5+6.5+6+3.7+2.3）=4.8，
$\sum_{i=1}^{5}$x_i=15，$\sum_{i=1}^{5}$y_i=24，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=61.3，$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=55，
代入公式得：$\widehat$=-1.07，$\widehat{a}$=8.01，
故$\widehat{y}$=-1.07x+8.01；
（2）年利潤z=x（-1.07x+8.01）-2x=-1.07x²+6.01x，
故x=2.81即年產(chǎn)量為x=2.81噸時，年利潤z取最大值．

點評 本題考查了求回歸方程問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，是一道中檔題．