Question

2．體積為18$\sqrt{3}$的正三棱錐A-BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內(nèi)部，且R：BC=2：3，點(diǎn)E為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，且DE=2EB，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是[8π，16π]．

Answer 1

分析 利用體積公式，求出DB，R，進(jìn)而求出OE，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)BC=3a，R=2a，則O到平面DCB的距離為OO′=a，三棱錐的高為3a，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×9{a}^{2}•3a$=18$\sqrt{3}$，∴a=2，∴DB=6，R=4．
由余弦定理可得O′E=$\sqrt{12+4-2×2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，∴OE=2$\sqrt{2}$，
與OE垂直的截面圓的半徑為$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，面積為π•8=8π，
以O(shè)E所在直徑為圓的直徑的圓面積為π•16=16π，
故答案為：[8π，16π]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查圓的面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．