Question

4．如圖，已知△ABC中，點M在線段AC上，點P在線段BM上，且滿足$\frac{AM}{MC}$=$\frac{MP}{PB}$=2，若|${\overrightarrow{AB}}$|=2，|${\overrightarrow{AC}}$|=3，∠BAC=120°，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$的值為-2．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$利用向量共線定理及其三角形法則可得$\overrightarrow{AP}$═$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$．再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵|${\overrightarrow{AB}}$|=2，|${\overrightarrow{AC}}$|=3，∠BAC=120°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=丨$\overrightarrow{AB}$丨•丨$\overrightarrow{AC}$丨cos120°=2×3×cos120°=-3．
∵$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MB}$，∴$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$），化為$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
=$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²，
=$\frac{4}{9}$×（-3）+$\frac{2}{9}$×3²-$\frac{2}{3}$×2²=-2．
故答案為：-2．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、向量共線定理及其三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．