Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，以原點O為圓心，b為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A、B分別是橢圓的左、右頂點，P為橢圓C上的動點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）設(shè)M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （ I）圓的方程為x²+y²=b²，圓心到直線x-y+2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$=b，又e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（ II）A$（-\sqrt{3}，0）$，B$（\sqrt{3}，0）$，設(shè)P（x，y），代入橢圓方程可得：y²=2-$\frac{2}{3}{x}^{2}$，再利用斜率計算公式即可得出．
（ III）由P（x，y′），可設(shè)M（x，y），其中x∈$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$，根據(jù)已知$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），可得$\frac{{x}^{2}+（{y}^{′}）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=λ²，而：（y′）²=2-$\frac{2}{3}{x}^{2}$，代入整理即可得出．

解答 解：（ I）圓的方程為x²+y²=b²，
圓心到直線x-y+2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$=b，
又e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（ II）A$（-\sqrt{3}，0）$，B$（\sqrt{3}，0）$，設(shè)P（x，y），代入橢圓方程可得：y²=2-$\frac{2}{3}{x}^{2}$，
由此可得：k₁=k_PA=$\frac{y}{x+\sqrt{3}}$，k₂=k_PB=$\frac{y}{x-\sqrt{3}}$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-3}$=-$\frac{2}{3}$．
（ III）由P（x，y′），可設(shè)M（x，y），其中x∈$[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$，
∵$\frac{|OP|}{|OM|}$=λ（$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1），$\frac{{x}^{2}+（{y}^{′}）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=λ²，而：（y′）²=2-$\frac{2}{3}{x}^{2}$，
∴$\frac{{x}^{2}+6}{3{x}^{2}+3{y}^{2}}$=λ²，整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6．（其中$-\sqrt{3}$≤x$≤\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤λ＜1）．

點評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．