Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）有唯一零點(diǎn)，則a=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 通過(guò)轉(zhuǎn)化可知問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象與y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論．

解答 解：因?yàn)閒（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）=-1+（x-1）²+a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）=0，
所以函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程1-（x-1）²=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）有唯一解，
等價(jià)于函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象與y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-2x≥-1，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，矛盾；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）在（-∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
所以函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象的最高點(diǎn)為A（1，1），y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象的最高點(diǎn)為B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此時(shí)函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象與y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾；
③當(dāng)a＞0時(shí)，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，
且y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）在（-∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，
所以函數(shù)y=1-（x-1）²的圖象的最高點(diǎn)為A（1，1），y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的圖象的最低點(diǎn)為B（1，2a），
由題可知點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件，即2a=1，即a=$\frac{1}{2}$，符合條件；
綜上所述，a=$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．