Question

19．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＜0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）=0求出f（x）的極值點(diǎn)，結(jié)合f（x）的定義域得出f′（x）的符號變換情況，從而得出f（x）的單調(diào)性；
（II）對a進(jìn)行討論，判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，得出f（x）在[1，+∞）上的最小值f_min（x），即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}+2x-1$=$\frac{2{x}^{2}-x+a}{x}$，
令f′（x）=0得2x²-x+a=0，
解得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，
∵a＜0，∴x₁＜0，x₂＞0，
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（II）若a=0時，f（x）=x²-x，
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f_min（x）=f（1）=0，符合題意．
若a＜0，由（I）可知f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$≤1即-1≤a＜0時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=0，符合題意，
當(dāng)$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$＞1即a＜-1時，f（x）在[1，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）＜f（1）=0，不符合題意．
若a＞0，令f′（x）=0得2x²-x+a=0，
∴當(dāng)△=1-8a≤0即a$≥\frac{1}{8}$時，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=0，符合題意．
若0$＜a＜\frac{1}{8}$，則2x²-x+a=0有兩正實(shí)數(shù)解，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$＜1，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=0，符合題意，
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，分類討論思想，屬于中檔題．