【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， ， .

（I）求異面直線與所成角的余弦值；

（II）求證： 平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見(jiàn)解析;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).求兩條異面直線所成的角，首先要借助平行線找出異面直線所成的角，然后借助解三角形求出角，證明線面垂直只需尋求線線垂直，求線面角首先利用轉(zhuǎn)化思想尋求直線與平面所成的角，本題作 是一步重要的轉(zhuǎn)化，尋求斜線、垂線，斜足、垂足、斜線在平面內(nèi)的射影，找到線面角后利用三角形邊角關(guān)系求出線面角.求線面角也可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離“盲求”.

考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

試題解析：（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，學(xué)|科網(wǎng)故或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)?/span>AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因?yàn)?/span>BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因?yàn)?/span>PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】汽車租賃公司為了調(diào)查A，B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： A型車

出租天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

車輛數(shù)

5

10

30

35

15

3

2

B型車

出租天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

車輛數(shù)

14

20

20

16

15

10

5

（ I）從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限A，B兩種車型）中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；
（Ⅱ）根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；
（Ⅲ）如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A，B兩種車型中購(gòu)買(mǎi)一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買(mǎi)哪一種車型，并說(shuō)明你的理由．

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【題目】已知A （1，2），B（a，1），C（2，3），D（﹣1，b）（a，b∈R）是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，且向量 ， 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1 ， z2 ． （Ⅰ）若z1+z2=1+i，求z1 ， z2
（Ⅱ）若|z1+z2|=2，z1﹣z2為實(shí)數(shù)，求a，b的值．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

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(1)求證：PA⊥BD；

(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；

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C.a≤0
D.a≥0

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（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于x1∈[1，e]，x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范圍．

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