Question

1．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*，點(diǎn)（a_n，S_n）都在函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${log_2}{b_n}=n+{log_2}（{2{a_n}-1}）（{n∈{N^*}}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）已知數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\frac{4n-6}{{{T_n}-6}}-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$．若對(duì)任意n∈N^*，存在${x_0}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$，使得c₁+c₂+…+c_n≤f（x）-a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，令n=1，求出首項(xiàng)；再將n換為n+1，兩式相減，化簡(jiǎn)即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n=（2n-1）•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和；
（3）求得${c_n}=\frac{4n-6}{{{T_n}-6}}-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．運(yùn)用分組求和和裂項(xiàng)相消求和，可得M_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．討論{M_n}的單調(diào)性，可得最大值M₄，求得f（x）-a的最大值，由題意可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題知，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁，所以a₁=1（0舍去）．
S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n，所以S_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1²+$\frac{1}{2}$a_n+1，兩式相減得到
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
因?yàn)檎��?xiàng)數(shù)列{a_n}，所以a_n+1-a_n=1，
數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以a_n=n．
（2）由（1）知a_n=n，{b_n}滿足${log_2}{b_n}=n+{log_2}（{2{a_n}-1}）（{n∈{N^*}}）$=n+log₂（2n-1），
所以b_n=（2n-1）•2ⁿ，
因此前n項(xiàng)和T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
由①-②得到-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．
（3）由（2）知T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
${c_n}=\frac{4n-6}{{{T_n}-6}}-\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
令M_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，
易得M_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
因?yàn)閏₁=0，c₂＞0，c₃＞0，c₄＞0，當(dāng)n≥5時(shí)，c_n=$\frac{1}{n（n+1）}$[$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$-1]，
而$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$-$\frac{（n+1）（n+2）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{（n+1）（n-2）}{{2}^{n+1}}$＞0，得到
$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$≤$\frac{5×6}{{2}^{5}}$＜1，所以當(dāng)n≥5時(shí)，c_n＜0，所以M_n≤M₄=$\frac{1}{4+1}$-$\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{16}$．
又x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，f（x）-a=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-a遞增，可得其最大值為$\frac{3}{8}$-a．
因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*，存在x₀∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，使得M_n≤f（x）-a成立．
所以$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{16}$≤$\frac{3}{8}$-a，
解得a≤$\frac{19}{80}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消求和，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，求最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．