Question

15．已知函數f（x）=xe^x，現有下列五種說法：
①函數f（x）為奇函數；
②函數f（x）的減區(qū)間為（-∞，1），增區(qū)間為（1，+∞）；
③函數f（x）的圖象在x=0處的切線的斜率為1；
④函數f（x）的最小值為$-\frac{1}{e}$．
其中說法正確的序號是③④（請寫出所有正確說法的序號）．

Answer 1

分析 根據奇函數的定義判斷①，求出函數的導數，得到函數的單調區(qū)間，判斷②③④即可．

解答 解：①f（-x）=（-x）•$\frac{1}{{e}^{x}}$≠-f（x），不是奇函數，故①錯誤；
②f′（x）=（1+x）e^x，
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＜0，當x∈（-1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，+∞），單調遞減區(qū)間為（-∞，-1），
故②錯誤；
③∵f′（x）=（1+x）e^x，∴f′（0）=1，
即函數f（x）的圖象在x=0處的切線的斜率為1；
故③正確；
④f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，+∞），單調遞減區(qū)間為（-∞，-1），
∴f（x）的最小值是f（-1）=-$\frac{1}{e}$，
故④正確；
故答案為：③④．

點評 本題考查了利用導研究函數的單調性極值與最值問題，考查函數的奇偶性問題，是一道基礎題．