Question

18．若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，滿足對任意x₁，x₂∈R，f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）有，則稱f（x）為“V形函數(shù)”；若函數(shù)g（x）定義域?yàn)镽，g（x）恒大于0，且對任意x₁，x₂∈R，有l(wèi)g[g（x₁+x₂）]≤lg[g（x₁）]+lg[g（x₂）]，則稱g（x）為“對數(shù)V形函數(shù)”：
（1）當(dāng)f（x）=x²時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否為V形函數(shù)，并說明理由；
（2）當(dāng)g（x）=x²+2時(shí)，證明：g（x）是對數(shù)V形函數(shù)；
（3）若f（x）是V形函數(shù)，且滿足對任意x∈R，有f（x）≥2，問f（x）是否為對數(shù)V形函數(shù)？如果是，請加以證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂，可得2x₁x₂符號不定，從而可得結(jié)論；
（2）利用反證法證明．假設(shè)對任意x₁，x₂∈R，有l(wèi)gg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），則可得（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），即證x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，顯然成立；
（3）f（x）是對數(shù)V形函數(shù)，根據(jù)f（x）是V形函數(shù)，利用對任意x∈R，有f（x）≥2，證明f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），從而可得f（x）是對數(shù)V形函數(shù)．

解答 （1）解：f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂
∵x₁，x₂∈R，∴2x₁x₂符號不定，∴當(dāng)2x₁x₂≤0時(shí)，f（x）是V形函數(shù)；當(dāng)2x₁x₂＞0時(shí)，f（x）不是V形函數(shù)；
（2）證明：假設(shè)對任意x₁，x₂∈R，有l(wèi)gg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），
則lgg（x₁+x₂）-lgg（x₁）-lgg（x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]-lg（x₁²+2）-lg（x₂²+2）≤0，
∴（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），
∴x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，顯然成立，
∴假設(shè)正確，g（x）是對數(shù)V形函數(shù)；
（3）解：f（x）是對數(shù)V形函數(shù)
證明：∵f（x）是V形函數(shù)，∴對任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∵對任意x∈R，有f（x）≥2，∴0＜f（x₁）+f（x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴l(xiāng)gf（x₁+x₂）≤lgf（x₁）+lgf（x₂），
∴f（x）是對數(shù)V形函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)與解法、反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．