Question

10．如圖，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長(zhǎng)等于C₁的短軸長(zhǎng)，C₂與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C₂相交于點(diǎn)A、B，直線MA，MB分別與C₁相交于點(diǎn)D、E．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求證：MA⊥MB：
（Ⅲ）記△MAB，△MDE的面積分別為S₁，S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （I）離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a²=2c²=2b²，又x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長(zhǎng)2$\sqrt$=2b，解得b，a²．可得曲線C₂的方程；曲線C₁的方程．
（II）設(shè)直線AB的方程為：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（0，-1）．與拋物線方程聯(lián)立可得：x²-kx-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可證明MA⊥MB．
（III）設(shè)直線MA的方程：y=k₁x-1；MB的方程為：y=k₂x-1，且k₁k₂=-1．分別與拋物線橢圓方程聯(lián)立解得A，B，D，E的坐標(biāo)，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （I）解：離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=2b²，
又x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長(zhǎng)2$\sqrt$=2b，解得b=1．∴a²=2．
∴曲線C₂的方程為：y=x²-1；
曲線C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）證明：設(shè)直線AB的方程為：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（0，-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，化為：x²-kx-1=0，∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=（k²+1）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=-（k²+1）+k•k+1=0．
∴MA⊥MB．
（III）解：設(shè)直線MA的方程：y=k₁x-1；MB的方程為：y=k₂x-1，且k₁k₂=-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x={k}_{1}}\\{y={k}_{1}^{2}-1}\end{array}\right.$，∴A$（{k}_{1}，{k}_{1}^{2}-1）$．
同理可得B$（{k}_{2}，{k}_{2}^{2}-1）$．
S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}$$\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}$|k₁|•|k₂|．
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4{k}_{1}}{1+2{k}_{1}^{2}}}\\{y=\frac{2{k}_{1}^{2}-1}{1+2{k}_{1}^{2}}}\end{array}\right.$，∴D$（\frac{4{k}_{1}}{1+2{k}_{1}^{2}}，\frac{2{k}_{1}^{2}-1}{1+2{k}_{1}^{2}}）$．
同理可得：E$（\frac{4{k}_{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}，\frac{2{k}_{2}^{2}-1}{1+2{k}_{2}^{2}}）$，
∴S₂=$\frac{1}{2}|MD|•|ME|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}$$\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}$•$\frac{|16{k}_{1}{k}_{2}|}{（1+2{k}_{1}^{2}）（1+2{k}_{2}^{2}）}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ=$\frac{（1+2{k}_{1}^{2}）（1+2{k}_{2}^{2}）}{16}$=$\frac{5+2（{k}_{1}^{2}+\frac{1}{{k}_{1}^{2}}）}{16}$$≥\frac{9}{16}$，
所以λ的最小值為$\frac{9}{16}$，此時(shí)k=1或-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓拋物線相交問題、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．