Question

13．已知函數(shù)f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，且滿足：①$\frac{f（x）-f'（x）}{x-1}＞0$；
②e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0，設 a=ef（1），b=f（2），c=e³f（-1）．
則a，b，c的大小順序是a＞b＞c．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-2}}$，對函數(shù)g（x）求導，分析其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)值的大小，即可得到結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x-2}}$，則其導數(shù)g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x-2}-f（x）{e}^{x-2}}{（{e}^{x-2}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x-2}}$，
由①知，當x＞1時，f（x）-f′（x）＞0，當x＜1時，f（x）-f′（x）＜0，
則當x＞1時，g′（x）＜0，此時函數(shù)遞減，當x＜1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)遞增，
則a=ef（1）=$\frac{f（1）}{{e}^{1-2}}$=$\frac{f（1）}{{e}^{-1}}$=g（1），b=f（2）=$\frac{f（2）}{{e}^{2-2}}$=g（2），c=e³f（-1）=$\frac{f（-1）}{{e}^{-1-2}}$=g（-1），
∴g（-1）＜g（1），g（1）＞g（2），則g（1）最大，即a最大．
由e^xf（1-x）-e^-xf（1+x）=0得f（2+x）=f（-x）•e^2+2x，
則g（2）=f（2）=f（0）e²=$\frac{f（0）}{{e}^{0-2}}$=g（0），
∵g（0）＞g（-1），
∴g（2）＞g（-1），即a＞b＞c，
故答案為：a＞b＞c．

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是恰當構(gòu)造函數(shù)g（x），并分析g（x）的奇偶性、單調(diào)性．