Question

16．（Ⅰ）已知${（2x-1）^{10}}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}（x-1{）^2}+…+{a_{10}}{（x-1）^{10}}$，其中a_i∈R，i=1，2，…10．
（i）求a₀+a₁+a₂+…+a₁₀；
（ii）求a₇．
（Ⅱ）2017年5月，北京召開“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇．組委會(huì)將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四個(gè)不同的崗位，每個(gè)崗位至少有一人參加，且五人均能勝任這四個(gè)崗位．
（i）若每人不準(zhǔn)兼職，則不同的分配方案有幾種？
（ii）若甲乙被抽調(diào)去別的地方，剩下三人要求每人必兼兩職，則不同的分配方案有幾種？

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）在（2x-1）¹⁰中，令x=2可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀的值；
（ii）令x-1=y，得出（1+2y）¹⁰=a₀+a₁y+a₂y²+…+a₁₀y¹⁰，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出a₇的值；             
（Ⅱ）（i）先從5人中選出2人參加一個(gè)崗位，再分4組全排列；
（ii）根據(jù)題意，求出4個(gè)崗位，3人中每人身兼兩職的不同分配方案．

解答 解：（Ⅰ）（i）在（2x-1）¹⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰中，
令x=2可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=3¹⁰，
（ii）令x-1=y，則x=y+1；
∴（1+2y）¹⁰=a₀+a₁y+a₂y²+…+a₁₀y¹⁰，
∴a₇=C₁₀⁷2⁷=15360；             
（Ⅱ）（i）每個(gè)崗位至少有一人參加，每人不準(zhǔn)兼職，則有一個(gè)崗位2人參加，
故有分配方案$C_5^2•A_4^4=240$（種）；
（ii）根據(jù)題意，4個(gè)崗位3個(gè)人參加，且每人身兼2職，不同的分配方案有
${{（C}_{4}^{2}）}^{3}$-（${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$•（${{（C}_{3}^{2}）}^{3}$-${C}_{3}^{2}$））=114（種）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了排列、組合，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，是綜合題．