Question

11．已知點(diǎn)$P（\sqrt{3}，1）$，Q（cosx，sinx），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{QP}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積運(yùn)算，即可求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（2）利用，△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求出bc，利用余弦定理，求出$b+c=2\sqrt{3}$，即可求△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow{QP}=（\sqrt{3}-cosx，1-sinx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{QP}$=$\sqrt{3}（\sqrt{3}-cosx）+1-sinx$=4-2sin（x+$\frac{π}{3}$），
f（x）的最小正周期為2π；             （6分）
（2）因?yàn)閒（A）=4，所$sin（A+\frac{π}{3}）=0$，因?yàn)?＜A＜π，所以$A=\frac{2π}{3}$，
因?yàn)?{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，所以bc=3，
根據(jù)余弦定理${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{2π}{3}={（b+c）^2}-2bc+bc=9$，所以$b+c=2\sqrt{3}$，
即三角形的周長(zhǎng)為$3+2\sqrt{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及正余弦定理，考查向量運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．