Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，E是BC的中點．
（1）求證：AE∥平面PCD；
（2）記平面PAB與平面PCD的交線為l，求二面角C-l-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形ADCE是平行四邊形，從而AE∥CD，由此能證明AE∥平面PCD．
（2）連結(jié)DE、BD，設(shè)AE∩BD于O，連結(jié)PO，推導(dǎo)出AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，從而PO⊥平面ABCD，以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-l-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E是BC的中點，
∴AD∥CE，且AD=CE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE∥CD，
∵AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
解：（2）連結(jié)DE、BD，設(shè)AE∩BD于O，連結(jié)PO，
則四邊形ABED是正方形，∴AE⊥BD，
∵PD=PB=2，O是BD中點，∴PO⊥BD，
則PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
又OA=$\sqrt{2}$，PA=2，∴PO²+OA²=PA²，
∴△POA是直角三角形，∴PO⊥AO，
∵BD∩AE=O，∴PO⊥平面ABCD，
以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，$\sqrt{2}$），A（-$\sqrt{2}，0，0$），B（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}，0，0$），D（0，-$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{2}$，0，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，-1）$，
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）是平面PCD的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\sqrt{2}b-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2\sqrt{2}a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{0}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=0，
∴二面角C-l-B的余弦值為0．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．