分析 方法一:設(shè)P(4cosθ,2$\sqrt{3}$sinθ),利用點(diǎn)到直線的距離公式及輔助角公式,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),sin(θ-$\frac{π}{6}$)=-1時(shí),d取最小值,即可求得P點(diǎn)坐標(biāo);
方法二:設(shè)過P點(diǎn)與直線2x-4y-31=0平行的切線方程為直線2x-4y+m=0,代入橢圓方程由△=0,即可求得m的值,即可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
解答 解:方法一:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(4cosθ,2$\sqrt{3}$sinθ),0≤θ≤2π,
則P到直線2x-4y-31=0的距離d=$\frac{丨8cosθ-8\sqrt{3}sinθ-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$丨16sin(θ-$\frac{π}{6}$)+31丨,
當(dāng)sin(θ-$\frac{π}{6}$)=-1時(shí),d取最小值,則θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$,則θ=$\frac{5π}{3}$,
4cos$\frac{5π}{3}$=2,2$\sqrt{3}$sin$\frac{5π}{3}$=-3
∴P(2,-3),
故答案為:(2,-3).
方法二:設(shè)過P點(diǎn)與直線2x-4y-31=0平行的切線方程為直線2x-4y+m=0,
$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,整理得:4x2+mx+$\frac{1}{4}$m2-48=0,
則△=m2-4×4($\frac{1}{4}$m2-48)=0,解得:m=±16,
當(dāng)m=16時(shí),2x-4y+16=0,
整理得:x2+4x+4=0,解得:x=-2,則y=3,
P(-2,3)到直線2x-4y-31=0的距離d=$\frac{丨2×(-2)-4×3-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{47\sqrt{5}}{10}$,
當(dāng)m=-16時(shí),2x-4y-16=0,整理得:x2-4x+4=0,解得:x=2,則y=-3,
P(2,-3)到直線2x-4y-31=0的距離d=$\frac{丨2×2-4×(-3)-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
∴當(dāng)P(2,-3)到直線2x-4y-31=0的距離最小,
故答案為:(2,-3).
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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