Question

12．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1上找一點P，使P點到直線2x-4y-31=0的距離最小，則取得最小值時點P的坐標是（2，-3）．

Answer 1

分析 方法一：設P（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），利用點到直線的距離公式及輔助角公式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，sin（θ-$\frac{π}{6}$）=-1時，d取最小值，即可求得P點坐標；
方法二：設過P點與直線2x-4y-31=0平行的切線方程為直線2x-4y+m=0，代入橢圓方程由△=0，即可求得m的值，即可求得P點坐標．

解答 解：方法一：設P點坐標（4cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），0≤θ≤2π，
則P到直線2x-4y-31=0的距離d=$\frac{丨8cosθ-8\sqrt{3}sinθ-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$丨16sin（θ-$\frac{π}{6}$）+31丨，
當sin（θ-$\frac{π}{6}$）=-1時，d取最小值，則θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，則θ=$\frac{5π}{3}$，
4cos$\frac{5π}{3}$=2，2$\sqrt{3}$sin$\frac{5π}{3}$=-3
∴P（2，-3），
故答案為：（2，-3）．
方法二：設過P點與直線2x-4y-31=0平行的切線方程為直線2x-4y+m=0，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x²+mx+$\frac{1}{4}$m²-48=0，
則△=m²-4×4（$\frac{1}{4}$m²-48）=0，解得：m=±16，
當m=16時，2x-4y+16=0，
整理得：x²+4x+4=0，解得：x=-2，則y=3，
P（-2，3）到直線2x-4y-31=0的距離d=$\frac{丨2×（-2）-4×3-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{47\sqrt{5}}{10}$，
當m=-16時，2x-4y-16=0，整理得：x²-4x+4=0，解得：x=2，則y=-3，
P（2，-3）到直線2x-4y-31=0的距離d=$\frac{丨2×2-4×（-3）-31丨}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴當P（2，-3）到直線2x-4y-31=0的距離最小，
故答案為：（2，-3）．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．