Question

7．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若△ABC的三角A，B，C所對(duì)的三邊分別為a，b，c，且滿足（a-c）（a+c）=b（b-c），試求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和誘導(dǎo)公式以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（a-c）（a+c）=b（b-c），求出C的值，利用三角函數(shù)的有界限即可求f（B）的取值范圍．

解答 解 函數(shù)$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sin²x+$\sqrt{3}$cosxsinx+cos²x=1-cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
（1）∴函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[：$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
∴f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
由（a-c）（a+c）=b（b-c），即a²-c²=b²-bc．
由余弦定理，可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
那么：$0＜B＜\frac{2π}{3}$．
2B-$\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$-\frac{1}{2}$，1]．
∴f（B）的取值范圍是（1，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．