Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{e}$為單位向量，則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$的最大值為$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{19}$，再由向量數(shù)量積的定義和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4+9+2×2×3×$\frac{1}{2}$=19，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{19}$，
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{e}$|•cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），$\overrightarrow{e}$＞
=$\sqrt{19}$cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），$\overrightarrow{e}$＞≤$\sqrt{19}$，
當(dāng)cos＜（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），$\overrightarrow{e}$＞=1，即（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），$\overrightarrow{e}$同向共線時(shí)，
取得最大值$\sqrt{19}$．
故答案為：$\sqrt{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．