Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中點，且PA=PB=AB=4，$BC=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅱ） 求三棱錐A-PBD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，交BD于點O，連接EO，則PC∥EO，由此能證明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）取AB中點H，連接PH，由V_{三棱錐A-PBD}=V_{三棱錐P-ABD}，能求出三棱錐A-PBD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC，交BD于點O，連接EO，則O是AC的中點．
又∵E是PA的中點，∴EO是△PAC的中位線，∴PC∥EO，
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（Ⅱ）取AB中點H，連接PH，
由PA=PB得PH⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PH⊥平面ABCD．
∵△PAB是邊長為4的等邊三角形，∴$PH=2\sqrt{3}$．
又∵${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×AB×AD$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
∴V_{三棱錐A-PBD}=V_{三棱錐P-ABD}=$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PH=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．