Question

2．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點，
（1）求證：AC⊥平面EDB；
（2）求四面體B-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）記AC與BD的交點為G，連接EG，GH，由已知可得AB⊥BC，且EF⊥BC，而EF⊥FB，由線面垂直的判定可得EF⊥平面BFC，進一步得到EF⊥FH．則AB⊥FH，再由已知可得FH⊥BC．則FH⊥平面ABCD，得到AC⊥EG．結(jié)合AC⊥BD，可得AC⊥平面EDB；
（2）由EF⊥FB，∠BFC=90°，可得BF⊥平面CDEF，求出BF=FC=$\sqrt{2}$．代入三棱錐體積公式可得求四面體B-DEF的體積．

解答 （1）證明：記AC與BD的交點為G，連接EG，GH，
由四邊形ABCD是正方形，有AB⊥BC，
又EF∥AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC，則EF⊥FH．
∴AB⊥FH，
又BF=FG，H為BC的中點，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD，則FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB；
（2）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
∴BF為四面體B-DEF的高，又BC=AB=2，
∴BF=FC=$\sqrt{2}$．
∴${V}_{B-DEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．