Question

17．某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場調(diào)查和預測，投資債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A的收益f（x）與投資金額x的關系是f（x）=k₁x，（f（x）的部分圖象如圖1）；投資股票等風險型產(chǎn)品B的收益g（x）與投資金額x的關系是$g（x）={k_2}\sqrt{x}$，（g（x）的部分圖象如圖2）；（收益與投資金額單位：萬元）．
（1）根據(jù)圖1、圖2分別求出f（x）、g（x）的解析式；
（2）該家庭現(xiàn)有10萬元資金，并全部投資債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A及股票等風險型產(chǎn)品B兩種產(chǎn)品，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？

Answer 1

分析 （1）設投資為x萬元，由題意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5，由此能求出A、B兩種產(chǎn)品的收益表示為投資的函數(shù)關系式．
（2）設對股票等風險型產(chǎn)品B投資x萬元，則對債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A投資（10-x）萬元，記家庭進行理財投資獲取的收益為y萬元，則y=$\frac{1}{4}（10-x）+\frac{5}{4}\sqrt{x}$，x≥0．利用換元法能求出怎樣分配這10萬元投資，才能使投資獲得最大收益，并能求出其最大收益為多少萬元．

解答 解：（1）設投資為x萬元，
由題意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k₁=$\frac{1}{4}$，k₂=$\frac{5}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x，x≥0．g（x）=$\frac{5}{4}\sqrt{x}$，x≥0；
（2）設對股票等風險型產(chǎn)品B投資x萬元，則對債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A投資（10-x）萬元，
記家庭進行理財投資獲取的收益為y萬元，則y=$\frac{1}{4}（10-x）+\frac{5}{4}\sqrt{x}$，x≥0．
設$\sqrt{x}$=t，則x=t²，0≤t≤$\sqrt{10}$
∴y=-$\frac{1}{4}（t-\frac{5}{2}）^{2}+$$\frac{65}{16}$，
當t=$\frac{5}{2}$，也即x=$\frac{25}{4}$時，y取最大值$\frac{65}{16}$．
答：對股票等風險型產(chǎn)品B投資$\frac{25}{4}$萬元，對債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A投資$\frac{15}{4}$萬元時，可獲最大收益$\frac{65}{16}$萬元．

點評 本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應用，主要考查正比例函數(shù)模型，關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．