Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}中，各項都是正數(shù)，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_{10}}}}{a_8}$=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $3-2\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，結(jié)合題意可得2×（$\frac{1}{2}$a₃）=a₁+2a₂，化簡可得q²-2q-1=0，解可得q的值，又由$\frac{{{a_{10}}}}{a_8}$=q²，計算q²的值即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
又由${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差數(shù)列，則有2×（$\frac{1}{2}$a₃）=a₁+2a₂；
即2（a₁q²）=a₁+2a₁×q，
變形可得：q²-2q-1=0
解可得q=1+$\sqrt{3}$或q=1-$\sqrt{3}$（舍），
則$\frac{{{a_{10}}}}{a_8}$=q²=（1+$\sqrt{3}$）²=3+2$\sqrt{2}$；
故選：C．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是求出其公比q的值．