Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A滿足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=0，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的最近距離為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)F'為雙曲線的右焦點(diǎn)，M為PF的中點(diǎn)，則|PF|-|PF'|=2$\sqrt{2}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，點(diǎn)A在以PF為直徑的圓上，故當(dāng)O，A，M共線時，可得OA取得最小值MA-OM．

解答 解：雙曲線的左焦點(diǎn)為F（-2，0），右焦點(diǎn)為F′（2，0），
連接PF′，PF，設(shè)PF的中點(diǎn)為M，
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=0，
∴點(diǎn)A在以PF為直徑的圓M上，
∴當(dāng)AOM三點(diǎn)共線時，OA取得最小值，最小值為MA-OM．
設(shè)圓M的半徑為r，則PF=2r，MA=r．
∵P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴PF-PF′=2$\sqrt{2}$，
∴PF′=2r-2$\sqrt{2}$，
∵OM是△PFF′的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF′=r-$\sqrt{2}$，
∴MA-OM=r-（r-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)的距離的最小值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)，及三點(diǎn)共線取得最小值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題