Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過其左焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若雙曲線的右頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由右頂點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的外，得|MF|＞|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡(jiǎn)整理得e²-e-2＜0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：由于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），則直線AB方程為：x=-c，
因此，設(shè)A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，解之得y₀=$\frac{^{2}}{a}$，得|AF|=$\frac{^{2}}{a}$，
∵雙曲線的右頂點(diǎn)M（a，0）在以AB為直徑的圓外，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞$\frac{^{2}}{a}$，
將b²=c²-a²，并化簡(jiǎn)整理，得2a²+ac-c²＞0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＜0，
∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．