Question

2．已知函數f（x）=2lnx-x²
（1）討論f（x）的單調性并求最大值；
（2）設g（x）=xe^x-（a-1）x²-x-2lnx，若f（x）+g（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最大值即可；
（2）令h（x）=xe^x-ax²-x，構造函數q（x）=e^x+xe^x-2ax-1，根據函數的單調性通過討論a的范圍求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）由題意得：x＞0，f′（x）=$\frac{2-{2x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
f（x）的最大值是f（1）=-1；
（2）由題意得：f（x）+g（x）=xe^x-ax²-x，
令h（x）=xe^x-ax²-x，h′（x）=e^x+xe^x-2ax-1，
設q（x）=e^x+xe^x-2ax-1，q′（x）=2e^x+xe^x-2a，
x＞0時，可知2e^x+xe^x遞增，且2e^x+xe^x＞2，
當2a≤2即a≤1時，x＞0時，q′（x）＞0，則h′（x）遞增，
h′（x）＞h′（0）=0，
則h（x）遞增，則h（x）＞h（0）=0，即f（x）+g（x）≥0恒成立，
故a≤1；
2a＞2即a＞1時，則唯一存在t＞0，使得q′（t）=0，
則當x∈（0，t）q′（x）＜0，則h′（x）遞減，h′（x）＜h′（0）=0，
則h（x）遞減，則h（x）＜h（0）=0，
則f（x）+g（x）≥0不能在（0，+∞）上恒成立，
綜上，實數a的范圍是：a≤1．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．