Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，PA=$\sqrt{6}$，E為PA的中點(diǎn)，
（1）證明：PC∥面EBD；
（2）求三棱錐P-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O．由底面ABCD是菱形，可得OA=OC，利用三角形的中位線定理可得OE∥PC，再利用線面平行的判定定理即可證明PC∥平面EBD．
（2）由于點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，可得V_{三棱錐P-BCE}=$\frac{1}{2}$V_{三棱錐A-PBC}．由O點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，可得V_{三棱錐A-PBC}=2V_{三棱錐A-POB}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$OP×OB×OA，即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O．
∵底面ABCD是菱形，
∴OA=OC，
又∵E為PA的中點(diǎn)，∴EO∥PC，
而PC?平面BED，EO?平面BED，
∴PC∥平面EBD．
（2）∵點(diǎn)E是PA的中點(diǎn)，∴V_{三棱錐P-BCE}═$\frac{1}{2}$V_{三棱錐A-PBC}．由O點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，
可得V_{三棱錐A-PBC}=2V_{三棱錐A-POB}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$OP×OB×OA=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1×\sqrt{3}=1$．
∴得V_{三棱錐P-BCE}=$\frac{1}{2}$V_{三棱錐A-PBC}=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式，考查了了推理能力與計算能力，屬于中檔題