Question

4．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓C的左頂點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M，N是橢圓C上異于A點的兩個動點，且滿足AM⊥AN，問直線MN是否恒過定點？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意的定義求得a=2，離心率e=$\frac{1}{2}$，求得c=1，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率不存在時，求得直線MN的方程，當(dāng)直線l的斜率存在，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，直線的斜率公式即可求得m與k的關(guān)系，即可求得直線恒過定點．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，解得a=2，
∵離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意知A（-2，0）．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁），由AM⊥AN，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{-y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，
又M和N在橢圓上，代入解得x=-$\frac{2}{7}$，則直線MN方程為x=-$\frac{2}{7}$．
若直線MN斜率存在，設(shè)方程為y=kx+m，
橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+m}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$．
由AM⊥AN，得 $\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$×$\frac{{-y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，整理得（k²+1）x₁x₂+（km+2）（x₁+x₂）+m²+4=0
∴（k²+1）×$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$+（km+2）×（$\frac{8km}{4{k}^{2}+m}$）+m²+4=0．
解得m=2k或m=$\frac{2}{7}$k．
若m=2k，此時直線過定點（-2，0）不合題意舍去．
故m=$\frac{2}{7}$k，即直線MN過定點（-$\frac{2}{7}$，0）．
綜上可知：直線l過定點（-$\frac{2}{7}$，0）．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理整體求解，屬于中檔題．