Question

13．為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校組織了一次實地測量活動，如圖，假設(shè)待測量的樹木AE的高度H（m），垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三點共線），試根據(jù)上述測量方案，回答如下問題：
（1）若測得α=60°、β=30°，試求H的值；
（2）經(jīng)過分析若干次測得的數(shù)據(jù)后，大家一致認為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到樹木的距離d（單位：m），使α與β之差較大時，可以提高測量精確度．
若樹木的實際高度為8m，試問d為多少時，α-β最大？

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABE中可得AD=$\frac{H}{tanβ}$，在Rt△ADE中可得AB=$\frac{H}{tanα}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，再根據(jù)AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分別表示出tanα和tanβ，再根據(jù)兩角和公式，求得tan（α-β），整理成基本不等式的形式，再根據(jù)基本不等式可求得tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．

解答 解：（1）在Rt△ABE中可得AD=$\frac{H}{tanβ}$，
在Rt△ADE中可得AB=$\frac{H}{tanα}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，
由AD-AB=DB，故得$\frac{H}{tanβ}-\frac{H}{tanα}=\frac{h}{tanβ}$，
得：H=$\frac{htanα}{tanα-tanβ}$=$\frac{4×\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=6．
因此，算出的樹木的高度H是6m．
（2）由題設(shè)知d=AB，得tanα=$\frac{H}ocgqjmz$，tanβ=$\frac{H}{AD}$=$\frac{h}{BD}$=$\frac{H-h}ryh3zad$，
tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{\frac{H}ukjmrkm-\frac{H-h}nagxzuo}{1+\frac{H}j9a6ruf•\frac{H-h}kh76ois}$=$\frac{hd}{uh1l6uu^{2}+H（H-h）}$=$\frac{h}{d+\frac{H（H-h）}mtlokm3}$
$≤\frac{h}{2\sqrt{d•\frac{H（H-h）}s0izt6z}}$=$\frac{h}{2\sqrt{H（H-h）}}$，（當(dāng)且僅當(dāng)d=$\sqrt{H（H-h）}$）時，取等號）
故當(dāng)H=8時，d=4$\sqrt{2}$，tan（α-β）最大．
因為0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，則0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，所以當(dāng)d=4$\sqrt{2}$時，α-β最大．

點評 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用不等式的性質(zhì)來解決．