Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-bx+c（b，c∈R）．
（1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1，求b，c的值；
（2）若b=1，c=$\frac{1}{3}$，求證：f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（3）若c=0，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值g（b）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于b，c的方程，求出b，c的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，證明結(jié)論即可；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出g（b）的表達(dá)式即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-b，所以1-b=2，得b=-1，
又f （1）=2+1=3，所以 $\frac{1}{3}$-b+c=3 得 c=$\frac{5}{3}$，
故b=-1，c=$\frac{5}{3}$；
（2）f （x）=$\frac{1}{3}$ x³-x+$\frac{1}{3}$，
因?yàn)閒 （1）f （2）=-$\frac{1}{3}$×1＜0，
所以f （x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，
又當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）=x²-1＞0，
所以f （x）在（1，2）上遞增，
故f （x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)．
（3）f （x）=$\frac{1}{3}$ x³-bx，f′（x）=x²-b，
（i）．當(dāng)b≤0時(shí)，在[0，1]上f’（x）≥0，f （x）在[0，1]上遞增，
所以g（b）=f （1）=$\frac{1}{3}$-b
（ii）．當(dāng)b＞0時(shí)，由f′（x）=0得 x=$\sqrt$ 或x=-$\sqrt$ （舍）

x	0	（0，$\sqrt$）	$\sqrt$	（$\sqrt$，+∞）
f’（x）		-	0	+
f （x）	0	遞減	極小	遞增

由 f （x）=f （0）得x=0或x=$\sqrt{3b}$
①當(dāng) $\sqrt{3b}$≥1即b≥$\frac{1}{3}$ 時(shí)，g（b）=f （0）=0
②當(dāng) $\sqrt{3b}$＜1 即 0＜b＜$\frac{1}{3}$ 時(shí)，g（b）=f （1）=$\frac{1}{3}$-b
綜上可知，$g（b）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}-b，b＜\frac{1}{3}\\ 0，b≥\frac{1}{3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．