Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B=2C，c=2，a=1．
（1）求邊長b的值；
（2）求sin（2B-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及二倍角公式可求sinB=2sinCcosC，由正弦定理可得：cosC=$\frac{4}$，進(jìn)而由余弦定理即可計(jì)算得解b的值．
（2）由（1）及余弦定理可得cosB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，進(jìn)而利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵B=2C，c=2，a=1．
∴可得：sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴由正弦定理：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{2sinCcosC}$=$\frac{2}{sinC}$，
∵C為三角形內(nèi)角，sinC＞0，可得：cosC=$\frac{4}$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{4}$=$\frac{1+^{2}-4}{2×1×b}$，整理可得：b=$\sqrt{6}$．
（2）∵由（1）及余弦定理可得：cosB=$\frac{1+4-6}{2×1×2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，可得：sin2B=2sinBcosB=-$\frac{\sqrt{15}}{8}$，cos2B=2cos²B-1=-$\frac{7}{8}$，
∴sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2B=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{\sqrt{15}}{8}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{7}{8}$）=$\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{15}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式在解三角形和三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．