Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x（x∈R，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性與奇偶性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性“增+增=增”的性質(zhì)及奇偶性的定義，可判斷f（x）在R上是增函數(shù)且是奇函數(shù)．
（2）不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈R都成立，即t²+t≤x²+x=（x+$\frac{1}{2}$^_）2-$\frac{1}{4}$對(duì)一切x∈R都成立，進(jìn)而可得存在$t=-\frac{1}{2}$，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈R都成立．

解答 （12分）
解：（1）∵f（x）=e^x-e^-x，
函數(shù)y=e^x為增函數(shù)，函數(shù)y=-e^-x為增函數(shù)
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（亦可用定義證明）
∵f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）存在．由（1）知f（x）在R上是增函數(shù)和奇函數(shù)，
則f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切都成立
?f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x）對(duì)一切x∈R都成立
?x²-t²≥t-x對(duì)一切x∈R都成立
?t²+t≤x²+x=（x+$\frac{1}{2}$^_）2-$\frac{1}{4}$對(duì)一切x∈R都成立
$?{t^2}+t≤{（{{x^2}+x}）_{min}}=-\frac{1}{4}?{t^2}+t+\frac{1}{4}={（t+\frac{1}{2}）^2}≤0$，
又${（t+\frac{1}{2}）}^{2}≥0$，
∴${（t+\frac{1}{2}）}^{2}=0$，
∴$t=-\frac{1}{2}$，
∴存在$t=-\frac{1}{2}$，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對(duì)一切x∈R都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．