Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若${S_n}=1-\frac{2}{3}{a_n}$（n∈N^*），則$\lim_{n→∞}{S_n}$=1．

Answer 1

分析 利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、極限運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵${S_n}=1-\frac{2}{3}{a_n}$（n∈N^*），∴n=1時(shí)，${a}_{1}=1-\frac{2}{3}{a}_{1}$，解得a₁=$\frac{3}{5}$．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=1-$\frac{2}{3}{a}_{n}$-$（1-\frac{2}{3}{a}_{n-1}）$，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{5}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{5}$，公比為$\frac{2}{5}$．
∴$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、極限運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．