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11.已知n∈N*,數(shù)列{dn}滿足dn=3+1n2,數(shù)列{an}滿足an=d1+d2+d3+…+d2n;又在數(shù)列{bn}中b1=2,且對?m,n∈N*,bmn=bnm
( I)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
( II)將數(shù)列{bn}中的第a1項(xiàng)、第a2項(xiàng)、第a3項(xiàng)、…、第an項(xiàng)刪去后,剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排列成新的數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}的前2016項(xiàng)的和T2016

分析 (I)由dn=3+1n2,考慮n為奇數(shù)、偶數(shù),即可得到an=3n:令m=1,可得bn=2n;
(II)由題意可得新的數(shù)列{cn}中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成首項(xiàng)b1=2,b2=4,公比均為8的等比數(shù)列,運(yùn)用數(shù)列的求和方法:分組求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求和.

解答 解:(I)由dn=3+1n2
可得an=d1+d2+d3+…+d2n=31+3+1++3+12=32n2=3n,
bmn=bnm中,令m=1可得bn=b1n=2n,
由bn=2n,可得bnm=2mn,bmn=2mn,bmn=bnm恒成立;
若bn≠2n,則當(dāng)m=1時(shí),bmn=bnm不成立.
故bn=2n
(II)將數(shù)列{bn}中的第a1項(xiàng)、第a2項(xiàng)、第a3項(xiàng)、…、第an項(xiàng)刪去后,
剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排列成新的數(shù)列{cn},
可得新的數(shù)列{cn}中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成首項(xiàng)b1=2,b2=4,公比均為8的等比數(shù)列,
則數(shù)列{cn}的前2016項(xiàng)的和T2016=(c1+c3+…+c2015)+(c2+c4+…+c2016
=218100818+418100818=6×8100867

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查賦值法的運(yùn)用以及恒成立思想,考查數(shù)列的求和方法:分組求和,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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